Fórmula de Bhaskara

Resolva equações de 2º grau
Carlos Alberto Campagner*
Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação
As equações de 2º grau incompletas podem ser resolvidas facilmente, apenas utilizando raiz quadrada. Já no caso das equações completas, é necessário utilizar uma fórmula matemática: a fórmula de Bhaskara (lê-se báscara). Uma equação de 2o grau pode ser reduzida a 3 termos principais. O termo que possui a variável ao quadrado, a variável e o termo sem ela.

Eis a seguinte fórmula geral:

ax2 + bx + c = 0

Se a for igual a zero, o que temos é uma equação do 1o grau, logo - para ser uma equação do 2o grau - o coeficiente a não pode ser igual a zero.

# a é o coeficiente do termo que possui a incógnita ao quadrado (x2);

# b é o coeficiente do termo que possui a incógnita (x);

# c é o coeficiente do termo independente.

Na equação - 34a2 + 28a - 32 = 0 tem-se:

a = - 34

b = 28

c = - 32

Mas e na equação 10x - 3x2 = 32 +15x2 ?

Como se viu acima, é possível reduzir a equação à sua forma geral:

Subtraindo 32 de ambos os lados:

10x - 3x2 - 32 = 32 +15x2 - 32

10x - 3x2 - 32 = 15x2.

Subtraindo 15x2 em ambos os termos:

10x - 3x2 - 32 - 15x2 = 15x2 - 15x2

10x - 3x2 - 32 - 15x2 = 0

Somando-se os termos em comum:

10x - 32 - 18x2 = 0

Colocando em ordem de maior para o menor expoente:

- 18x2 + 10x - 32 = 0

Agora fica fácil de determinar os coeficientes:

a = -18

b= +10

c = -32

Fórmula geral de resolução de equações de 2° grau
reprodução

Acima você tem a fórmula de bhaskara, utilizada para resolver as equações de 2º grau. Veja como se chegou até essa fórmla, partindo da fórmula geral das equações de 2º grau:

ax2 + bx + c = 0

com a diferente de zero;

Multiplicando ambos os membros por 4a:

4a2x2 + 4abx + 4ac = 0;

Somando b2 em ambos os membros:

4a2x2 + 4abx + 4ac + b2 = b2;

Reagrupando:

4a2x2 + 4abx + b2 = b2 - 4ac

O primeiro membro é um trinômio quadrado perfeito (2ax + b)2 = b2 - 4ac

Tirando a raiz quadrada dos dois membros e colocando a possibilidade de uma raiz negativa e uma positiva ()

: (2ax + b) =

Isolando a incógnita x

2ax = -b

Como desde o início a é diferente de zero, essa fórmula nunca será dividida por zero. Ela é conhecida como fórmula de Bhaskara.

Multiplicação de numeros inteiros

O conjunto dos números inteiros é formado pelos números inteiros positivos e seus respectivos negativos, denominado oposto ou simétrico. A multiplicação entre esses números deverá respeitar algumas regras envolvendo jogo de sinais.
Produto de dois números inteiros com sinais diferentes.

Quando realizamos a multiplicação:

5 x 6 é o mesmo que 6 + 6 + 6 + 6+ 6. Então, para multiplicarmos dois números inteiros com sinais diferentes, iremos utilizar a mesma ideia.

(+5) * (– 2)

(– 2) + (– 2) + (– 2) + (– 2) + (– 2) (Escrevendo uma adição de parcelas iguais)

– 2 – 2 – 2 – 2 – 2 = – 10 (Simplificando a escrita e calculando o resultado)

(+5) * (– 2) = –10

O produto de dois números inteiros, diferente de zero, e de sinais diferentes é um número inteiro de:

Valor absoluto igual ao produto dos valores absolutos dos fatores e sinal negativo (–).

Produto de dois números inteiros com sinais iguais.

Nesse caso há duas possibilidades: dos fatores serem positivos ou dos fatores serem negativos.

Vamos calcular o produto de (+ 8) * (+5) = + 40

Vamos calcular o produto de (– 6) * (– 15) = + 90

O produto de dois números inteiros diferentes de zero e de sinais iguais é um número inteiro de:

Valor absoluto igual ao produto dos valores absolutos dos fatores e sinal positivo (+).

Elemento Neutro

O elemento neutro da multiplicação é 1 ou + 1.

Pois qualquer número inteiro multiplicado por 1 (positivo) será ele mesmo.
Exemplo:
(– 4) * 1 = – 4
(+ 5) * (+ 1) = 5
(–10) * (+1) = – 10
(+ 9) * ( 1 ) = + 9


A multiplicação dos números inteiros é mais simples que a adição e subtração, pois basta multiplicarmos os valores absolutos e o sinal fica conforme a regra:

( + ) * ( + ) = ( + )
( + ) * ( – ) = ( – )
( – ) * ( + ) = ( – )
( – ) * ( – ) = ( + )

O conjunto dos números inteiros é formado pelos números inteiros positivos e seus respectivos negativos, denominado oposto ou simétrico. A multiplicação entre esses números deverá respeitar algumas regras envolvendo jogo de sinais.

Produto de dois números inteiros com sinais diferentes.

Quando realizamos a multiplicação:

5 x 6 é o mesmo que 6 + 6 + 6 + 6+ 6. Então, para multiplicarmos dois números inteiros com sinais diferentes, iremos utilizar a mesma ideia.

(+5) * (– 2)

(– 2) + (– 2) + (– 2) + (– 2) + (– 2) (Escrevendo uma adição de parcelas iguais)

– 2 – 2 – 2 – 2 – 2 = – 10 (Simplificando a escrita e calculando o resultado)

(+5) * (– 2) = –10

O produto de dois números inteiros, diferente de zero, e de sinais diferentes é um número inteiro de:

Valor absoluto igual ao produto dos valores absolutos dos fatores e sinal negativo (–).

Produto de dois números inteiros com sinais iguais.

Nesse caso há duas possibilidades: dos fatores serem positivos ou dos fatores serem negativos.

Vamos calcular o produto de (+ 8) * (+5) = + 40

Vamos calcular o produto de (– 6) * (– 15) = + 90

O produto de dois números inteiros diferentes de zero e de sinais iguais é um número inteiro de:

Valor absoluto igual ao produto dos valores absolutos dos fatores e sinal positivo (+).

Elemento Neutro

O elemento neutro da multiplicação é 1 ou + 1.

Pois qualquer número inteiro multiplicado por 1 (positivo) será ele mesmo.
Exemplo:
(– 4) * 1 = – 4
(+ 5) * (+ 1) = 5
(–10) * (+1) = – 10
(+ 9) * ( 1 ) = + 9


A multiplicação dos números inteiros é mais simples que a adição e subtração, pois basta multiplicarmos os valores absolutos e o sinal fica conforme a regra:

( + ) * ( + ) = ( + )
( + ) * ( – ) = ( – )
( – ) * ( + ) = ( – )